Il concetto di tachione non viola intrinsecamente la matematica della relativita ristretta. Piuttosto, rappresenta un dominio matematico inesplorato all'interno delle trasformazioni di Lorentz. Per comprendere i tachioni, dobbiamo esaminare attentamente le equazioni che governano energia, impulso e spaziotempo quando la velocita (v) supera strettamente la velocita della luce (c).
1. L'inversione energia-impulso
Nella relativita ristretta, l'energia totale (E) e l'impulso (p) di una particella con massa a riposo (m₀) e velocita (v) sono dati dalle equazioni di Lorentz:
E = m₀c² / √(1 - v²/c²)
p = m₀v / √(1 - v²/c²)
Per la materia ordinaria (bradioni), v < c, quindi il termine sotto la radice quadrata, (1 - v²/c²), e positivo. Il denominatore e reale, la massa a riposo e reale, e quindi energia e impulso sono quantita osservabili reali. Man mano che v si avvicina a c, il denominatore si avvicina a zero, portando l'energia verso l'infinito. Ecco perche la materia ordinaria non puo raggiungere la velocita della luce: richiederebbe energia infinita.
Per un tachione, v > c. Cio rende il termine (1 - v²/c²) negativo. La radice quadrata di un numero negativo produce un denominatore immaginario. Affinche l'energia E e l'impulso p rimangano quantita reali e osservabili, anche il numeratore deve essere immaginario. Cio porta alla necessita che la massa a riposo del tachione m₀ sia immaginaria:
Dove i = √(-1) e μ e un numero reale che rappresenta la grandezza della massa del tachione. L'equazione dell'energia diventa quindi:
Il limite di velocita dal basso
Osservate attentamente l'equazione dell'energia modificata sopra. Se la velocita del tachione v diminuisce e si avvicina a c (dall'alto), il denominatore (v²/c² - 1) si avvicina a zero, e l'energia del tachione si avvicina all'infinito. Al contrario, quando v si avvicina all'infinito, il denominatore cresce illimitatamente, e l'energia E si avvicina a zero. Un tachione con energia zero viaggia a velocita infinita. Non puo rallentare fino a c, proprio come una particella ordinaria non puo accelerare fino a c.
2. L'equazione della massa invariante
La relazione tra energia, impulso e massa a riposo puo essere espressa anche attraverso l'equazione invariante relativistica:
Per un tachione con massa immaginaria m₀ = iμ, il quadrato della massa (m₀)² = (iμ)² = -μ². L'equazione diventa:
Questo indica che per un tachione, l'impulso al quadrato (pc)² e sempre strettamente maggiore dell'energia al quadrato E². Nello spaziotempo quadridimensionale di Minkowski, il quadrivettore energia-impulso di un tachione e di tipo spazio, mentre per la materia ordinaria e di tipo tempo, e per la luce e di tipo luce (o nullo).
3. Il principio di reinterpretazione di Feinberg
La complicazione fisica piu grave dei tachioni e la causalita. Poiche il quadrimpulso del tachione e di tipo spazio, osservatori diversi in diversi sistemi di riferimento inerziale saranno in disaccordo sull'ordine temporale degli eventi.
Se l'osservatore A vede un tachione emesso all'evento E_1 con energia positiva e assorbito all'evento E_2 piu tardi nel tempo (t_2 > t_1), esiste un altro sistema di riferimento valido, l'osservatore B, che viaggia a una velocita relativa v < c, che vedra gli eventi in ordine inverso (t_1' > t_2'). Inoltre, nel sistema di riferimento dell'osservatore B, l'energia del tachione apparira matematicamente negativa.
Per risolvere questo, Gerald Feinberg introdusse il principio di reinterpretazione (formulato indipendentemente anche da Sudarshan). Il principio afferma che un tachione a energia negativa che viaggia indietro nel tempo e fisicamente indistinguibile da un anti-tachione a energia positiva che viaggia in avanti nel tempo.
Se l'osservatore B vede una particella muoversi da E_2 a E_1 indietro nel tempo con energia negativa, deve reinterpretare questo come un'antiparticella che si muove da E_1 a E_2 in avanti nel tempo con energia positiva. L'atto di "emissione" e "assorbimento" si scambia semplicemente a seconda del sistema di riferimento dell'osservatore. Questo ripristina la stabilita termodinamica locale, sebbene non risolva completamente i paradossi causali su scala macroscopica come l'antitelefono tachionico.
4. Spin quantistico ed elicita
Se i tachioni esistono come particelle quantistiche, devono possedere numeri quantici come lo spin. Tuttavia, la classificazione di Wigner delle rappresentazioni del gruppo di Poincare mostra che gli stati tachionici sono altamente anomali. Per un vettore impulso di tipo spazio, il "piccolo gruppo" (il sottogruppo delle trasformazioni di Lorentz che lascia invariato il vettore impulso) e SO(2,1), che e non compatto.
Cio implica che un tachione quantistico avrebbe un numero infinito di stati di polarizzazione (uno spin continuo), a meno che lo stato non sia vincolato a elicita zero (un tachione scalare). Poiche non osserviamo particelle elementari con stati di spin continuo infinito, i fisici teorici modellano generalmente i tachioni come campi scalari con spin 0.
Conclusione
La fisica dei tachioni ci richiede di invertire la nostra abituale intuizione su energia e velocita. Per quanto siano matematicamente eleganti la massa immaginaria e il principio di reinterpretazione, essi descrivono un universo dove la causalita e profondamente dipendente dall'osservatore. Sebbene i tachioni fisici rimangano non verificati, questo esatto framework matematico, in particolare l'impulso di tipo spazio e la massa immaginaria, costituisce la base per comprendere le instabilita dei campi (condensazione dei tachioni) nella moderna teoria delle stringhe e nel meccanismo di Higgs.