Het concept van een tachyon breekt de wiskunde van de speciale relativiteitstheorie niet. Het vertegenwoordigt een onverkend wiskundig domein binnen de Lorentztransformaties. We moeten de vergelijkingen die energie, impuls en ruimtetijd beheersen nauwkeurig onderzoeken wanneer de snelheid v strikt groter is dan de lichtsnelheid c.
1. De energie-impuls-inversie
De Lorentzvergelijkingen: E = m₀c² / √(1 - v²/c²) en p = m₀v / √(1 - v²/c²). Voor gewone materie is v < c, dus de uitdrukking onder de wortel is positief. Wanneer v c nadert, gaat de energie naar oneindig.
Voor een tachyon is v > c, wat (1 - v²/c²) negatief maakt. De rustmassa moet imaginair zijn: m₀ = iμ. De energievergelijking wordt:
De snelheidslimiet van onderen
Wanneer de snelheid van een tachyon afneemt en c nadert, gaat de energie naar oneindig. Wanneer de snelheid oneindigheid nadert, nadert de energie nul. Een tachyon met nul energie reist met oneindige snelheid. Het kan niet vertragen tot c, net zoals een gewoon deeltje niet kan versnellen tot c.
2. De invariante-massa-vergelijking
De relativistische invariante vergelijking: E² - (pc)² = (m₀c²)². Voor een tachyon met imaginaire massa is (m₀)² = -μ², en de vergelijking wordt E² - (pc)² = -μ²c⁴. Dit geeft aan dat de viervector van het tachyon ruimteachtig (spacelike) is.
3. Feinbergs herinterpretatie-principe
De ernstigste complicatie van tachyonen betreft causaliteit. Verschillende waarnemers kunnen het oneens zijn over de tijdsvolgorde van gebeurtenissen. Feinberg introduceerde het herinterpretatie-principe: een tachyon met negatieve energie dat achterwaarts in de tijd reist is fysisch ononderscheidbaar van een anti-tachyon met positieve energie dat voorwaarts in de tijd reist.
Conclusie
De fysica van tachyonen vereist dat we onze gebruikelijke intuitie over energie en snelheid omdraaien. Hoewel wiskundig elegant, beschrijft het een universum waarin causaliteit diep afhankelijk is van de waarnemer. Dit wiskundige kader vormt de basis voor het begrijpen van veldinstabiliteiten in snaartheorie en het Higgsmechanisme.