O conceito de taquion nao quebra inerentemente a matematica da relatividade especial. Em vez disso, representa um dominio matematico inexplorado dentro das transformacoes de Lorentz. Para compreender os taquions, devemos examinar cuidadosamente as equacoes que governam a energia, o momento e o espaco-tempo quando a velocidade ($v$) excede estritamente a velocidade da luz ($c$).
1. A inversao energia-momento
Na relatividade especial, a energia total ($E$) e o momento ($p$) de uma particula com massa de repouso ($m₀$) e velocidade ($v$) sao dados pelas equacoes de Lorentz:
E = m₀c² / √(1 - v²/c²)
p = m₀v / √(1 - v²/c²)
Para a materia ordinaria (bradions), $v < c$, de modo que o termo sob a raiz quadrada, $(1 - v²/c²)$, e positivo. O denominador e real, a massa de repouso e real, e portanto a energia e o momento sao quantidades observaveis reais. A medida que $v$ se aproxima de $c$, o denominador se aproxima de zero, levando a energia ao infinito. E por isso que a materia ordinaria nao pode alcancar a velocidade da luz: exigiria energia infinita.
Para um taquion, $v > c$. Isso torna o termo $(1 - v²/c²)$ negativo. A raiz quadrada de um numero negativo produz um denominador imaginario. Para que a energia $E$ e o momento $p$ permanecam como quantidades reais observaveis, o numerador tambem deve ser imaginario. Isso leva ao requisito de que a massa de repouso do taquion $m₀$ deve ser imaginaria:
Onde $i = √(-1)$ e $μ$ e um numero real representando a magnitude da massa do taquion. A equacao de energia entao se torna:
O limite de velocidade por baixo
Observe cuidadosamente a equacao de energia modificada acima. Se a velocidade $v$ de um taquion diminui e se aproxima de $c$ (por cima), o denominador $(v²/c² - 1)$ se aproxima de zero, e a energia do taquion se aproxima do infinito. Inversamente, quando $v$ se aproxima do infinito, o denominador cresce infinitamente, e a energia $E$ se aproxima de zero. Um taquion com energia zero viaja a velocidade infinita. Ele nao pode desacelerar ate $c$ assim como uma particula regular nao pode acelerar ate $c$.
2. A equacao de massa invariante
A relacao entre energia, momento e massa de repouso tambem pode ser expressa pela equacao relativistica invariante:
Para um taquion com massa imaginaria $m₀ = iμ$, o quadrado da massa $(m₀)² = (iμ)² = -μ²$. A equacao se torna:
Isso indica que, para um taquion, o momento ao quadrado $(pc)²$ e sempre estritamente maior que sua energia ao quadrado $E²$. No espaco-tempo quadridimensional de Minkowski, o quadrivetor energia-momento de um taquion e tipo espaco, enquanto para a materia ordinaria e tipo tempo, e para a luz e tipo luz (ou nulo).
3. O principio de reinterpretacao de Feinberg
A complicacao fisica mais severa dos taquions e a causalidade. Como o quadrimomento do taquion e tipo espaco, diferentes observadores em diferentes referenciais inerciais discordarao sobre a ordem temporal dos eventos.
Se o Observador A ve um taquion emitido no evento $E_1$ com energia positiva e absorvido no evento $E_2$ posteriormente no tempo ($t_2 > t_1$), existe outro referencial valido, o Observador B, viajando a uma velocidade relativa $v < c$, que vera os eventos na ordem inversa ($t_1' > t_2'$). Alem disso, no referencial do Observador B, a energia do taquion aparecera matematicamente como negativa.
Para resolver isso, Gerald Feinberg introduziu o principio de reinterpretacao (tambem formulado independentemente por Sudarshan). O principio estabelece que um taquion de energia negativa viajando para tras no tempo e fisicamente indistinguivel de um anti-taquion de energia positiva viajando para frente no tempo.
Se o Observador B ve uma particula movendo-se de $E_2$ para $E_1$ retrocedendo no tempo com energia negativa, ele deve reinterpretar isso como uma antiparticula movendo-se de $E_1$ para $E_2$ avancando no tempo com energia positiva. O ato de "emissao" e "absorcao" simplesmente se inverte dependendo do referencial do observador. Isso restaura a estabilidade termodinamica localizada, embora nao resolva completamente os paradoxos de causalidade em macroescala como o antitelefone taquionico.
4. Spin quantico e helicidade
Se os taquions existem como particulas quanticas, devem possuir numeros quanticos como o spin. No entanto, a classificacao de Wigner das representacoes do grupo de Poincare mostra que os estados taquionicos sao altamente anomalos. Para um vetor de momento tipo espaco, o "grupo pequeno" (o subgrupo de transformacoes de Lorentz que deixa o vetor de momento inalterado) e $SO(2,1)$, que e nao compacto.
Isso implica que um taquion quantico teria um numero infinito de estados de polarizacao (um spin continuo), a menos que o estado seja restringido a helicidade zero (um taquion escalar). Como nao observamos particulas elementares com estados de spin continuo infinito, os fisicos teoricos geralmente modelam os taquions como campos escalares de spin 0.
Conclusao
A fisica dos taquions nos exige inverter nossa intuicao habitual sobre energia e velocidade. Por mais elegantes que sejam a massa imaginaria e o principio de reinterpretacao, eles descrevem um universo onde a causalidade e profundamente dependente do observador. Embora os taquions fisicos permanecam nao verificados, esse referencial matematico exato, especificamente o momento tipo espaco e a massa imaginaria, forma a base para compreender as instabilidades de campo (condensacao taquionica) na teoria de cordas moderna e no mecanismo de Higgs.