टैकियॉन की अवधारणा स्वाभाविक रूप से विशेष सापेक्षता के गणित को नहीं तोड़ती। बल्कि, यह लोरेंत्ज़ रूपांतरणों के भीतर एक अनछुए गणितीय क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करती है। टैकियॉन को समझने के लिए, हमें उन समीकरणों को ध्यान से देखना होगा जो ऊर्जा, संवेग, और दिक्काल को नियंत्रित करते हैं जब वेग ($v$) सख्ती से प्रकाश की गति ($c$) से अधिक होता है।
1. ऊर्जा-संवेग व्युत्क्रमण
विशेष सापेक्षता में, विराम द्रव्यमान ($m₀$) और वेग ($v$) वाले कण की कुल ऊर्जा ($E$) और संवेग ($p$) लोरेंत्ज़ समीकरणों द्वारा दिए जाते हैं:
E = m₀c² / √(1 - v²/c²)
p = m₀v / √(1 - v²/c²)
सामान्य पदार्थ (ब्रैडियॉन) के लिए, $v < c$, इसलिए वर्गमूल के नीचे का पद, $(1 - v²/c²)$, धनात्मक है। हर वास्तविक है, विराम द्रव्यमान वास्तविक है, और इसलिए ऊर्जा और संवेग वास्तविक अवलोकन योग्य मात्राएं हैं। जैसे-जैसे $v$ $c$ के करीब पहुंचता है, हर शून्य की ओर पहुंचता है, ऊर्जा को अनंत की ओर ले जाता है। यही कारण है कि सामान्य पदार्थ प्रकाश की गति तक नहीं पहुंच सकता - इसके लिए अनंत ऊर्जा की आवश्यकता होगी।
टैकियॉन के लिए, $v > c$। यह पद $(1 - v²/c²)$ को ऋणात्मक बनाता है। ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल लेने पर एक काल्पनिक हर प्राप्त होता है। ऊर्जा $E$ और संवेग $p$ वास्तविक, अवलोकन योग्य मात्राएं बनी रहें, इसके लिए अंश भी काल्पनिक होना चाहिए। इससे यह आवश्यकता उत्पन्न होती है कि टैकियॉन का विराम द्रव्यमान $m₀$ काल्पनिक होना चाहिए:
जहां $i = √(-1)$ और $μ$ एक वास्तविक संख्या है जो टैकियॉन के द्रव्यमान के परिमाण का प्रतिनिधित्व करती है। ऊर्जा समीकरण तब बन जाता है:
नीचे से गति सीमा
ऊपर दिए गए संशोधित ऊर्जा समीकरण को ध्यान से देखें। यदि एक टैकियॉन का वेग $v$ घटता है और (ऊपर से) $c$ की ओर पहुंचता है, तो हर $(v²/c² - 1)$ शून्य की ओर पहुंचता है, और टैकियॉन की ऊर्जा अनंत की ओर पहुंचती है। इसके विपरीत, जैसे-जैसे $v$ अनंत की ओर पहुंचता है, हर अनंत रूप से बड़ा होता जाता है, और ऊर्जा $E$ शून्य की ओर पहुंचती है। शून्य ऊर्जा वाला टैकियॉन अनंत गति से यात्रा कर रहा है। यह $c$ तक धीमा नहीं हो सकता, ठीक वैसे ही जैसे एक सामान्य कण $c$ तक तेज़ नहीं हो सकता।
2. अपरिवर्ती द्रव्यमान समीकरण
ऊर्जा, संवेग, और विराम द्रव्यमान के बीच संबंध को सापेक्षतावादी अपरिवर्ती समीकरण के माध्यम से भी व्यक्त किया जा सकता है:
काल्पनिक द्रव्यमान $m₀ = iμ$ वाले टैकियॉन के लिए, द्रव्यमान का वर्ग $(m₀)² = (iμ)² = -μ²$। समीकरण बन जाता है:
यह इंगित करता है कि एक टैकियॉन के लिए, वर्गित संवेग $(pc)²$ हमेशा सख्ती से इसकी वर्गित ऊर्जा $E²$ से अधिक होता है। चतुर्आयामी मिंकोव्स्की दिक्काल में, टैकियॉन का ऊर्जा-संवेग चतुर्वेक्टर स्पेसलाइक होता है, जबकि सामान्य पदार्थ के लिए यह टाइमलाइक होता है, और प्रकाश के लिए यह लाइटलाइक (या शून्य) होता है।
3. Feinberg का पुनर्व्याख्या सिद्धांत
टैकियॉन की सबसे गंभीर भौतिक जटिलता कार्यकारणता है। चूंकि टैकियॉन का चार-संवेग स्पेसलाइक है, विभिन्न जड़त्वीय संदर्भ फ्रेमों में विभिन्न प्रेक्षक घटनाओं के लौकिक क्रम पर असहमत होंगे।
यदि प्रेक्षक A धनात्मक ऊर्जा के साथ घटना $E_1$ पर उत्सर्जित और बाद में समय ($t_2 > t_1$) पर घटना $E_2$ पर अवशोषित एक टैकियॉन देखता है, तो एक अन्य वैध संदर्भ फ्रेम, प्रेक्षक B, जो सापेक्ष वेग $v < c$ पर यात्रा कर रहा है, घटनाओं को उलटे क्रम ($t_1' > t_2'$) में देखेगा। इसके अलावा, प्रेक्षक B के फ्रेम में, टैकियॉन की ऊर्जा गणितीय रूप से ऋणात्मक दिखाई देगी।
इसे हल करने के लिए, Gerald Feinberg ने पुनर्व्याख्या सिद्धांत (Sudarshan द्वारा भी स्वतंत्र रूप से तैयार) प्रस्तुत किया। सिद्धांत कहता है कि समय में पीछे यात्रा करने वाला ऋणात्मक-ऊर्जा टैकियॉन समय में आगे यात्रा करने वाले धनात्मक-ऊर्जा प्रति-टैकियॉन से भौतिक रूप से अप्रभेद्य है।
यदि प्रेक्षक B एक कण को ऋणात्मक ऊर्जा के साथ समय में पीछे $E_2$ से $E_1$ की ओर जाते देखता है, तो उन्हें इसकी पुनर्व्याख्या एक प्रति-कण के रूप में करनी चाहिए जो धनात्मक ऊर्जा के साथ समय में आगे $E_1$ से $E_2$ की ओर जा रहा है। "उत्सर्जन" और "अवशोषण" की क्रिया प्रेक्षक के संदर्भ फ्रेम के आधार पर बदल जाती है। यह स्थानीयकृत ऊष्मागतिकीय स्थिरता को बहाल करता है, हालांकि यह टैकियोनिक एंटीटेलीफ़ोन जैसे बृहत्-स्तरीय कार्यकारणता विरोधाभासों को पूरी तरह से हल नहीं करता।
4. क्वांटम स्पिन और हेलिसिटी
यदि टैकियॉन क्वांटम कणों के रूप में मौजूद हैं, तो उनके पास स्पिन जैसी क्वांटम संख्याएं होनी चाहिए। हालांकि, Poincare समूह के प्रतिनिधित्वों का Wigner वर्गीकरण दिखाता है कि टैकियोनिक अवस्थाएं अत्यधिक विसंगत हैं। स्पेसलाइक संवेग वेक्टर के लिए, "लिटिल ग्रुप" (लोरेंत्ज़ रूपांतरणों का उपसमूह जो संवेग वेक्टर को अपरिवर्तित रखता है) $SO(2,1)$ है, जो गैर-संहत है।
इसका अर्थ है कि एक क्वांटम टैकियॉन में ध्रुवीकरण अवस्थाओं की अनंत संख्या (एक सतत स्पिन) होगी, जब तक कि अवस्था को शून्य हेलिसिटी (एक अदिश टैकियॉन) तक सीमित न किया जाए। चूंकि हम अनंत सतत स्पिन अवस्थाओं वाले प्राथमिक कणों का अवलोकन नहीं करते, सैद्धांतिक भौतिकविद आमतौर पर टैकियॉन को स्पिन-0 अदिश क्षेत्र के रूप में मॉडल करते हैं।
निष्कर्ष
टैकियॉन की भौतिकी हमसे ऊर्जा और वेग के बारे में अपनी सामान्य अंतर्ज्ञान को उलटने की मांग करती है। जितना गणितीय रूप से सुरुचिपूर्ण काल्पनिक द्रव्यमान और पुनर्व्याख्या सिद्धांत हैं, वे एक ऐसे ब्रह्मांड का वर्णन करते हैं जहां कार्यकारणता गहन रूप से प्रेक्षक-निर्भर है। हालांकि भौतिक टैकियॉन असत्यापित रहते हैं, यह सटीक गणितीय ढांचा - विशेष रूप से स्पेसलाइक संवेग और काल्पनिक द्रव्यमान - आधुनिक स्ट्रिंग सिद्धांत और हिग्स तंत्र में क्षेत्र अस्थिरताओं (टैकियॉन संघनन) को समझने का आधार बनाता है।