El concepto de taquion no rompe inherentemente las matematicas de la relatividad especial. Mas bien, representa un dominio matematico inexplorado dentro de las transformaciones de Lorentz. Para comprender los taquiones, debemos examinar detenidamente las ecuaciones que gobiernan la energia, el momento y el espaciotiempo cuando la velocidad ($v$) supera estrictamente la velocidad de la luz ($c$).
1. La inversion energia-momento
En la relatividad especial, la energia total ($E$) y el momento ($p$) de una particula con masa en reposo ($m₀$) y velocidad ($v$) estan dados por las ecuaciones de Lorentz:
E = m₀c² / √(1 - v²/c²)
p = m₀v / √(1 - v²/c²)
Para la materia ordinaria (bradiones), $v < c$, por lo que el termino bajo la raiz cuadrada, $(1 - v²/c²)$, es positivo. El denominador es real, la masa en reposo es real, y por lo tanto la energia y el momento son cantidades observables reales. A medida que $v$ se acerca a $c$, el denominador se acerca a cero, llevando la energia hacia el infinito. Por eso la materia ordinaria no puede alcanzar la velocidad de la luz: requeriria energia infinita.
Para un taquion, $v > c$. Esto hace que el termino $(1 - v²/c²)$ sea negativo. La raiz cuadrada de un numero negativo produce un denominador imaginario. Para que la energia $E$ y el momento $p$ sigan siendo cantidades reales observables, el numerador tambien debe ser imaginario. Esto lleva al requisito de que la masa en reposo del taquion $m₀$ debe ser imaginaria:
Donde $i = √(-1)$ y $μ$ es un numero real que representa la magnitud de la masa del taquion. La ecuacion de energia se convierte entonces en:
El limite de velocidad desde abajo
Observe detenidamente la ecuacion de energia modificada anterior. Si la velocidad $v$ de un taquion disminuye y se acerca a $c$ (desde arriba), el denominador $(v²/c² - 1)$ se acerca a cero, y la energia del taquion se acerca al infinito. A la inversa, cuando $v$ se acerca al infinito, el denominador crece infinitamente, y la energia $E$ se acerca a cero. Un taquion con energia cero viaja a velocidad infinita. No puede desacelerar hasta $c$ del mismo modo que una particula ordinaria no puede acelerarse hasta $c$.
2. La ecuacion de masa invariante
La relacion entre energia, momento y masa en reposo tambien puede expresarse mediante la ecuacion relativista invariante:
Para un taquion con masa imaginaria $m₀ = iμ$, el cuadrado de la masa $(m₀)² = (iμ)² = -μ²$. La ecuacion se transforma en:
Esto indica que para un taquion, el momento al cuadrado $(pc)²$ es siempre estrictamente mayor que su energia al cuadrado $E²$. En el espaciotiempo tetradimensional de Minkowski, el cuadrivector de energia-momento de un taquion es de tipo espacial, mientras que para la materia ordinaria es de tipo temporal, y para la luz es de tipo luminico (o nulo).
3. El principio de reinterpretacion de Feinberg
La complicacion fisica mas grave de los taquiones es la causalidad. Dado que el cuadrimomento del taquion es de tipo espacial, diferentes observadores en diferentes marcos de referencia inerciales discreparan sobre el orden temporal de los eventos.
Si el Observador A ve un taquion emitido en el evento $E_1$ con energia positiva y absorbido en el evento $E_2$ mas tarde en el tiempo ($t_2 > t_1$), existe otro marco de referencia valido, el Observador B, viajando a una velocidad relativa $v < c$, que vera los eventos en orden inverso ($t_1' > t_2'$). Ademas, en el marco del Observador B, la energia del taquion aparecera matematicamente como negativa.
Para resolver esto, Gerald Feinberg introdujo el principio de reinterpretacion (tambien formulado independientemente por Sudarshan). El principio establece que un taquion de energia negativa viajando hacia atras en el tiempo es fisicamente indistinguible de un anti-taquion de energia positiva viajando hacia adelante en el tiempo.
Si el Observador B ve una particula moviendose de $E_2$ a $E_1$ retrocediendo en el tiempo con energia negativa, debe reinterpretar esto como una antiparticula moviendose de $E_1$ a $E_2$ avanzando en el tiempo con energia positiva. El acto de "emision" y "absorcion" simplemente se intercambia dependiendo del marco de referencia del observador. Esto restaura la estabilidad termodinamica local, aunque no resuelve completamente las paradojas de causalidad a macroescala como el antitelefono taquionico.
4. Espin cuantico y helicidad
Si los taquiones existen como particulas cuanticas, deben poseer numeros cuanticos como el espin. Sin embargo, la clasificacion de Wigner de las representaciones del grupo de Poincare muestra que los estados taquionicos son altamente anomalos. Para un vector de momento de tipo espacial, el "grupo pequeno" (el subgrupo de transformaciones de Lorentz que deja invariante el vector de momento) es $SO(2,1)$, que es no compacto.
Esto implica que un taquion cuantico tendria un numero infinito de estados de polarizacion (un espin continuo), a menos que el estado se restrinja a helicidad cero (un taquion escalar). Dado que no observamos particulas elementales con estados de espin continuo infinito, los fisicos teoricos generalmente modelan los taquiones como campos escalares de espin 0.
Conclusion
La fisica de los taquiones nos exige invertir nuestra intuicion habitual sobre la energia y la velocidad. Por mas elegantes que sean la masa imaginaria y el principio de reinterpretacion, describen un universo donde la causalidad depende profundamente del observador. Aunque los taquiones fisicos permanecen sin verificar, este marco matematico exacto, especificamente el momento de tipo espacial y la masa imaginaria, constituye la base para comprender las inestabilidades de campo (condensacion taquionica) en la teoria de cuerdas moderna y el mecanismo de Higgs.