Das Konzept eines Tachyons bricht nicht grundsaetzlich die Mathematik der Speziellen Relativitaetstheorie. Es stellt vielmehr eine unerforschte mathematische Domaene innerhalb der Lorentz-Transformationen dar. Um Tachyonen zu verstehen, muessen wir die Gleichungen genau betrachten, die Energie, Impuls und Raumzeit regieren, wenn die Geschwindigkeit (v) strikt die Lichtgeschwindigkeit (c) ueberschreitet.
1. Die Energie-Impuls-Inversion
In der Speziellen Relativitaetstheorie werden die Gesamtenergie (E) und der Impuls (p) eines Teilchens mit Ruhemasse (m₀) und Geschwindigkeit (v) durch die Lorentz-Gleichungen gegeben:
E = m₀c² / v(1 - v²/c²)
p = m₀v / v(1 - v²/c²)
Fuer gewoehnliche Materie (Bradyonen) gilt v < c, sodass der Term unter der Quadratwurzel, (1 - v²/c²), positiv ist. Der Nenner ist reell, die Ruhemasse ist reell, und daher sind Energie und Impuls reelle beobachtbare Groessen. Wenn v sich c naehert, naehert sich der Nenner null und treibt die Energie gegen unendlich. Deshalb kann gewoehnliche Materie die Lichtgeschwindigkeit nicht erreichen -- es wuerde unendliche Energie erfordern.
Fuer ein Tachyon gilt v > c. Dies macht den Term (1 - v²/c²) negativ. Die Quadratwurzel einer negativen Zahl ergibt einen imaginaeren Nenner. Damit Energie E und Impuls p reelle, beobachtbare Groessen bleiben, muss auch der Zaehler imaginaer sein. Dies fuehrt zur Anforderung, dass die Ruhemasse m₀ des Tachyons imaginaer sein muss:
Wobei i = v(-1) und μ eine reelle Zahl ist, die den Betrag der Tachyonenmasse darstellt. Die Energiegleichung wird dann zu:
Die Geschwindigkeitsgrenze von unten
Betrachten Sie die modifizierte Energiegleichung oben genau. Wenn die Geschwindigkeit v eines Tachyons abnimmt und sich c naehert (von oben), naehert sich der Nenner (v²/c² - 1) null, und die Energie des Tachyons strebt gegen unendlich. Umgekehrt waechst der Nenner bei v gegen unendlich unbegrenzt, und die Energie E naehert sich null. Ein Tachyon mit Nullenergie bewegt sich mit unendlicher Geschwindigkeit. Es kann nicht auf c abbremsen, ebenso wenig wie ein gewoehnliches Teilchen auf c beschleunigen kann.
2. Die invariante Massengleichung
Die Beziehung zwischen Energie, Impuls und Ruhemasse kann auch durch die relativistische Invariantengleichung ausgedrueckt werden:
Fuer ein Tachyon mit imaginaerer Masse m₀ = iμ ist das Quadrat der Masse (m₀)² = (iμ)² = -μ². Die Gleichung wird zu:
Dies zeigt, dass fuer ein Tachyon der quadrierte Impuls (pc)² stets strikt groesser als die quadrierte Energie E² ist. In der vierdimensionalen Minkowski-Raumzeit ist der Energie-Impuls-Vierervektor eines Tachyons raumartig, waehrend er fuer gewoehnliche Materie zeitartig und fuer Licht lichtartig (oder null) ist.
3. Feinbergs Reinterpretationsprinzip
Die schwerwiegendste physikalische Komplikation der Tachyonen ist die Kausalitaet. Da der Viererimpuls des Tachyons raumartig ist, werden verschiedene Beobachter in verschiedenen Inertialsystemen ueber die zeitliche Reihenfolge von Ereignissen nicht uebereinstimmen.
Wenn Beobachter A sieht, wie ein Tachyon bei Ereignis E_1 mit positiver Energie emittiert und bei Ereignis E_2 spaeter in der Zeit absorbiert wird (t_2 > t_1), existiert ein anderes gueltiges Bezugssystem, Beobachter B, der sich mit einer relativen Geschwindigkeit v < c bewegt und die Ereignisse in umgekehrter Reihenfolge sieht (t_1' > t_2'). Darueber hinaus erscheint die Energie des Tachyons im Bezugssystem von Beobachter B mathematisch negativ.
Um dies aufzuloesen, fuehrte Gerald Feinberg das Reinterpretationsprinzip ein (auch unabhaengig von Sudarshan formuliert). Das Prinzip besagt, dass ein Tachyon mit negativer Energie, das rueckwaerts in der Zeit reist, physikalisch ununterscheidbar von einem Anti-Tachyon mit positiver Energie ist, das vorwaerts in der Zeit reist.
Wenn Beobachter B ein Teilchen von E_2 nach E_1 rueckwaerts in der Zeit mit negativer Energie laufen sieht, muss er dies als ein Antiteilchen reinterpretieren, das von E_1 nach E_2 vorwaerts in der Zeit mit positiver Energie laeuft. Der Akt der "Emission" und "Absorption" tauscht sich einfach je nach Bezugssystem des Beobachters aus. Dies stellt die lokale thermodynamische Stabilitaet wieder her, loest aber die makroskopischen Kausalitaetsparadoxien wie das tachyonische Antitelefon nicht vollstaendig.
4. Quantenspin und Helizitaet
Falls Tachyonen als Quantenteilchen existieren, muessen sie Quantenzahlen wie den Spin besitzen. Die Wigner-Klassifikation der Darstellungen der Poincare-Gruppe zeigt jedoch, dass tachyonische Zustaende hoechst anomal sind. Fuer einen raumartigen Impulsvektor ist die "kleine Gruppe" (die Untergruppe der Lorentz-Transformationen, die den Impulsvektor unveraendert laesst) SO(2,1), die nicht-kompakt ist.
Dies impliziert, dass ein Quantentachyon eine unendliche Anzahl von Polarisationszustaenden haette (einen kontinuierlichen Spin), es sei denn, der Zustand ist auf Nullhelizitaet beschraenkt (ein skalares Tachyon). Da wir keine Elementarteilchen mit unendlich vielen kontinuierlichen Spinzustaenden beobachten, modellieren theoretische Physiker Tachyonen generell als skalare Felder mit Spin 0.
Fazit
Die Physik der Tachyonen erfordert es, unsere uebliche Intuition ueber Energie und Geschwindigkeit umzukehren. So mathematisch elegant die imaginaere Masse und das Reinterpretationsprinzip auch sind, sie beschreiben ein Universum, in dem Kausalitaet zutiefst beobachterabhaengig ist. Waehrend physische Tachyonen unbestaetigt bleiben, bildet genau dieser mathematische Rahmen -- insbesondere der raumartige Impuls und die imaginaere Masse -- die Grundlage fuer das Verstaendnis von Feldinstabilitaeten (Tachyon-Kondensation) in der modernen Stringtheorie und dem Higgs-Mechanismus.