Le concept de tachyon ne brise pas en soi les mathematiques de la relativite restreinte. Il represente plutot un domaine mathematique inexplore au sein des transformations de Lorentz. Pour comprendre les tachyons, il faut examiner attentivement les equations qui regissent l'energie, l'impulsion et l'espace-temps lorsque la vitesse (v) depasse strictement la vitesse de la lumiere (c).
1. L'inversion energie-impulsion
En relativite restreinte, l'energie totale (E) et l'impulsion (p) d'une particule de masse au repos (m₀) et de vitesse (v) sont donnees par les equations de Lorentz :
E = m₀c² / v(1 - v²/c²)
p = m₀v / v(1 - v²/c²)
Pour la matiere ordinaire (bradyons), v < c, de sorte que le terme sous la racine carree, (1 - v²/c²), est positif. Le denominateur est reel, la masse au repos est reelle, et par consequent l'energie et l'impulsion sont des grandeurs reelles observables. Quand v s'approche de c, le denominateur s'approche de zero, poussant l'energie vers l'infini. C'est pourquoi la matiere ordinaire ne peut pas atteindre la vitesse de la lumiere : cela requerrait une energie infinie.
Pour un tachyon, v > c. Cela rend le terme (1 - v²/c²) negatif. La racine carree d'un nombre negatif donne un denominateur imaginaire. Pour que l'energie E et l'impulsion p restent des grandeurs reelles observables, le numerateur doit egalement etre imaginaire. Cela conduit a l'exigence que la masse au repos m₀ du tachyon soit imaginaire :
Ou i = v(-1) et μ est un nombre reel representant la magnitude de la masse du tachyon. L'equation d'energie devient alors :
La limite de vitesse par le bas
Examinons attentivement l'equation d'energie modifiee ci-dessus. Si la vitesse v d'un tachyon diminue et s'approche de c (par le haut), le denominateur (v²/c² - 1) s'approche de zero, et l'energie du tachyon tend vers l'infini. Inversement, quand v tend vers l'infini, le denominateur croit indefiniment, et l'energie E s'approche de zero. Un tachyon d'energie nulle se deplace a vitesse infinie. Il ne peut pas ralentir jusqu'a c, pas plus qu'une particule ordinaire ne peut accelerer jusqu'a c.
2. L'equation de masse invariante
La relation entre l'energie, l'impulsion et la masse au repos peut aussi s'exprimer par l'equation invariante relativiste :
Pour un tachyon de masse imaginaire m₀ = iμ, le carre de la masse (m₀)² = (iμ)² = -μ². L'equation devient :
Cela indique que pour un tachyon, le carre de l'impulsion (pc)² est toujours strictement superieur au carre de son energie E². Dans l'espace-temps de Minkowski quadridimensionnel, le quadrivecteur energie-impulsion d'un tachyon est de type espace, tandis que celui de la matiere ordinaire est de type temps, et celui de la lumiere est de type lumiere (ou nul).
3. Le principe de reinterpretation de Feinberg
La complication physique la plus grave des tachyons concerne la causalite. Parce que le quadrivecteur d'impulsion du tachyon est de type espace, differents observateurs dans differents referentiels inertiels ne s'accorderont pas sur l'ordre temporel des evenements.
Si l'observateur A voit un tachyon emis a l'evenement E_1 avec une energie positive et absorbe a l'evenement E_2 plus tard dans le temps (t_2 > t_1), il existe un autre referentiel valide, l'observateur B, se deplacant a une vitesse relative v < c, qui verra les evenements dans l'ordre inverse (t_1' > t_2'). De plus, dans le referentiel de l'observateur B, l'energie du tachyon apparaitra mathematiquement negative.
Pour resoudre ce probleme, Gerald Feinberg a introduit le principe de reinterpretation (egalement formule independamment par Sudarshan). Le principe stipule qu'un tachyon d'energie negative se deplacant en arriere dans le temps est physiquement indiscernable d'un anti-tachyon d'energie positive se deplacant en avant dans le temps.
Si l'observateur B voit une particule se deplacer de E_2 vers E_1 en remontant le temps avec une energie negative, il doit reinterpreter cela comme une antiparticule se deplacant de E_1 vers E_2 en avant dans le temps avec une energie positive. L'acte d'"emission" et d'"absorption" s'echange simplement selon le referentiel de l'observateur. Cela retablit la stabilite thermodynamique locale, bien que cela ne resolve pas entierement les paradoxes de causalite a grande echelle comme l'antitelephone tachyonique.
4. Spin quantique et helicite
Si les tachyons existent en tant que particules quantiques, ils doivent posseder des nombres quantiques comme le spin. Cependant, la classification de Wigner des representations du groupe de Poincare montre que les etats tachyoniques sont extremement anomaux. Pour un vecteur d'impulsion de type espace, le "petit groupe" (le sous-groupe des transformations de Lorentz qui laisse le vecteur d'impulsion inchange) est SO(2,1), qui est non compact.
Cela implique qu'un tachyon quantique aurait un nombre infini d'etats de polarisation (un spin continu), a moins que l'etat ne soit contraint a une helicite nulle (un tachyon scalaire). Parce qu'on n'observe pas de particules elementaires avec un nombre infini d'etats de spin continu, les physiciens theoriciens modelisent generalement les tachyons comme des champs scalaires de spin 0.
Conclusion
La physique des tachyons nous oblige a inverser notre intuition habituelle concernant l'energie et la vitesse. Aussi elegante que soient la masse imaginaire et le principe de reinterpretation, ils decrivent un univers ou la causalite depend profondement de l'observateur. Bien que les tachyons physiques n'aient pas ete verifies, ce cadre mathematique exact -- en particulier l'impulsion de type espace et la masse imaginaire -- constitue la base de la comprehension des instabilites de champ (condensation tachyonique) dans la theorie des cordes moderne et le mecanisme de Higgs.