Nid yw cysyniad tachyon yn torri mathemateg perthnasedd arbennig yn gynhenid. Yn hytrach, mae'n cynrychioli parth mathemategol nas archwiliwyd o fewn trawsffurfiadau Lorentz. I ddeall tachyonau, rhaid i ni edrych yn ofalus ar yr hafaliadau sy'n llywodraethu egni, momentwm, a gofod-amser pan fo'r buanedd (v) yn fwy na buanedd golau (c) yn llym.
1. Gwrthdroad yr Egni-Momentwm
Mewn perthnasedd arbennig, rhoddir yr egni cyfanswm (E) a'r momentwm (p) gronyn gan hafaliadau Lorentz:
E = m₀c² / √(1 - v²/c²)
p = m₀v / √(1 - v²/c²)
Ar gyfer mater cyffredin (bradyonau), v < c, felly mae'r term o dan yr ail isradd, (1 - v²/c²), yn bositif. Wrth i v agosau at c, mae'r enwadur yn agosau at sero, gan yrru'r egni tuag at anfeidredd. Dyma pam na all mater cyffredin gyrraedd buanedd golau.
Ar gyfer tachyon, v > c. Mae hyn yn gwneud y term (1 - v²/c²) yn negyddol. Er mwyn i'r egni E a'r momentwm p aros yn real, rhaid i'r mas gorffwys m₀ fod yn ddychmygol:
2. Hafaliad y Mas Anghyfnewidiol
Gellir mynegi'r berthynas rhwng egni, momentwm, a mas gorffwys drwy'r hafaliad anghyfnewidiol perthnasol:
Ar gyfer tachyon a mas dychmygol m₀ = iμ, sgwar y mas (m₀)² = -μ². Mae hyn yn dangos bod momentwm sgwariedig (pc)² tachyon bob amser yn fwy na'i egni sgwariedig E².
3. Egwyddor Ailddehongli Feinberg
Y cymhlethdod ffisegol mwyaf difrifol gyda thachyonau yw achosoldeb. Oherwydd bod pedwar-momentwm tachyon yn ofodol, ni fydd arsylwyr gwahanol mewn fframiau cyfeiriad inertiaidd gwahanol yn cytuno ar drefn amserol digwyddiadau.
I ddatrys hyn, cyflwynodd Gerald Feinberg yr Egwyddor Ailddehongli. Dywed yr egwyddor na ellir gwahaniaethu'n ffisegol rhwng tachyon egni negyddol sy'n teithio'n ol mewn amser a gwrth-tachyon egni positif sy'n teithio ymlaen mewn amser.
Casgliad
Mae ffiseg tachyonau yn mynnu ein bod yn gwrthdroi ein greddf arferol am egni a buanedd. Er nad yw tachyonau ffisegol wedi'u cadarnhau, mae'r fframwaith mathemategol hwn yn ffurfio'r sylfaen ar gyfer deall ansefydlogrwydd maes mewn theori llinyn fodern a mecanwaith Higgs.