타키온의 개념은 특수 상대성 이론의 수학을 본질적으로 깨뜨리지 않습니다. 오히려 Lorentz 변환 내의 미개척 수학적 영역을 나타냅니다. 타키온을 이해하려면, 속도(v)가 빛의 속도(c)를 엄격히 초과할 때 에너지, 운동량, 시공간을 지배하는 방정식을 면밀히 검토해야 합니다.
1. 에너지-운동량 역전
특수 상대성 이론에서, 정지 질량(m₀)과 속도(v)를 가진 입자의 총 에너지(E)와 운동량(p)은 Lorentz 방정식으로 주어집니다:
E = m₀c² / √(1 - v²/c²)
p = m₀v / √(1 - v²/c²)
일반 물질(브래디온)의 경우, v < c이므로 제곱근 안의 항 (1 - v²/c²)은 양수입니다. 분모는 실수이고, 정지 질량은 실수이며, 따라서 에너지와 운동량은 실수의 관측 가능한 양입니다. v가 c에 접근하면 분모는 0에 접근하여 에너지를 무한대로 몰아갑니다. 이것이 일반 물질이 빛의 속도에 도달할 수 없는 이유입니다. 무한한 에너지가 필요하기 때문입니다.
타키온의 경우, v > c입니다. 이로 인해 항 (1 - v²/c²)이 음수가 됩니다. 음수의 제곱근을 취하면 허수 분모가 됩니다. 에너지 E와 운동량 p가 실수의 관측 가능한 양으로 남으려면, 분자도 허수여야 합니다. 이는 타키온의 정지 질량 m₀이 허수여야 한다는 요건으로 이어집니다:
여기서 i = √(-1)이고, μ는 타키온 질량의 크기를 나타내는 실수입니다. 에너지 방정식은 다음과 같이 됩니다:
아래로부터의 속도 제한
위의 수정된 에너지 방정식을 주의 깊게 살펴보세요. 타키온의 속도 v가 감소하여 (위에서부터) c에 접근하면, 분모 (v²/c² - 1)는 0에 접근하고 타키온의 에너지는 무한대에 접근합니다. 반대로, v가 무한대에 접근하면 분모가 무한히 커지고 에너지 E는 0에 접근합니다. 에너지가 0인 타키온은 무한 속도로 이동하고 있습니다. 일반 입자가 c로 가속할 수 없는 것처럼, 타키온도 c로 감속할 수 없습니다.
2. 불변 질량 방정식
에너지, 운동량, 정지 질량 사이의 관계는 상대론적 불변 방정식을 통해서도 표현할 수 있습니다:
허수 질량 m₀ = iμ를 가진 타키온의 경우, 질량의 제곱은 (m₀)² = (iμ)² = -μ²가 됩니다. 방정식은 다음과 같이 됩니다:
이것은 타키온의 경우, 운동량의 제곱 (pc)²이 항상 에너지의 제곱 E²보다 엄격히 크다는 것을 나타냅니다. 4차원 Minkowski 시공간에서, 타키온의 에너지-운동량 사원 벡터는 공간적인 반면, 일반 물질은 시간적이고, 빛은 빛같은(또는 영) 것입니다.
3. Feinberg의 재해석 원리
타키온의 가장 심각한 물리적 문제는 인과율입니다. 타키온의 사원 운동량이 공간적이기 때문에, 다른 관성 기준계에 있는 다른 관측자들은 사건의 시간적 순서에 대해 합의할 수 없습니다.
관측자 A가 사건 E_1에서 양의 에너지를 가진 타키온이 방출되고, 시간적으로 나중인 사건 E_2(t_2 > t_1)에서 흡수되는 것을 본다면, 상대 속도 v < c로 이동하는 또 다른 유효한 기준계의 관측자 B가 존재하며, 그는 사건을 역순(t_1' > t_2')으로 봅니다. 또한, 관측자 B의 기준계에서 타키온의 에너지는 수학적으로 음수로 나타납니다.
이를 해결하기 위해, Gerald Feinberg는 재해석 원리(Sudarshan도 독립적으로 정립)를 도입했습니다. 이 원리는 시간을 거슬러 이동하는 음의 에너지 타키온이 시간을 순방향으로 이동하는 양의 에너지 반타키온과 물리적으로 구별 불가능하다고 말합니다.
관측자 B가 입자가 E_2에서 E_1로 시간을 거슬러 음의 에너지로 이동하는 것을 보면, 그는 이것을 E_1에서 E_2로 시간을 순방향으로 양의 에너지로 이동하는 반입자로 재해석해야 합니다. "방출"과 "흡수"의 행위는 관측자의 기준계에 따라 단순히 바뀝니다. 이것은 국소적 열역학적 안정성을 회복하지만, 타키온 역전화와 같은 거시적 인과율 역설을 완전히 해결하지는 못합니다.
4. 양자 스핀과 헬리시티
타키온이 양자 입자로 존재한다면, 스핀과 같은 양자수를 가져야 합니다. 그러나 Poincare 군의 표현에 대한 Wigner 분류는 타키온 상태가 매우 이례적임을 보여줍니다. 공간적 운동량 벡터의 경우, "작은 군"(운동량 벡터를 불변으로 유지하는 Lorentz 변환의 부분군)은 SO(2,1)이며, 이는 비콤팩트합니다.
이는 양자 타키온이 무한한 수의 편극 상태(연속 스핀)를 갖게 됨을 의미합니다. 상태가 0 헬리시티(스칼라 타키온)로 제한되지 않는 한 그렇습니다. 무한한 연속 스핀 상태를 가진 기본 입자는 관측되지 않으므로, 이론 물리학자들은 일반적으로 타키온을 스핀-0 스칼라장으로 모델링합니다.
결론
타키온의 물리학은 에너지와 속도에 대한 우리의 통상적 직관을 역전시킬 것을 요구합니다. 허수 질량과 재해석 원리가 수학적으로 우아한 만큼, 그것들은 인과율이 깊이 관측자 의존적인 우주를 기술합니다. 물리적 타키온은 미검증 상태로 남아 있지만, 바로 이 수학적 틀, 특히 공간적 운동량과 허수 질량은 현대 끈 이론과 Higgs 메커니즘에서의 장의 불안정성(타키온 응축)을 이해하기 위한 기초를 형성합니다.