Koncept tahiona ne krsi inherentno matematiku specijalne relativnosti. Umjesto toga, predstavlja neistrazenu matematicku domenu unutar Lorentzovih transformacija.
1. Inverzija energije i impulsa
U specijalnoj relativnosti, ukupna energija (E) i impuls (p) cestice s masom mirovanja (m₀) i brzinom (v) dani su Lorentzovim jednadzbama:
E = m₀c² / √(1 - v²/c²)
p = m₀v / √(1 - v²/c²)
Za obicnu materiju (bradione), v < c, pa je izraz pod korijenom pozitivan. Kada se v priblizava c, nazivnik se priblizava nuli, tjerajuci energiju prema beskonacnosti. Zato obicna materija ne moze doseci brzinu svjetlosti.
Za tahion, v > c. To cini izraz (1 - v²/c²) negativnim. Masa mirovanja m₀ mora biti imaginarna:
Jednadba energije tada postaje:
Ogranicenje brzine odozdo
Ako se brzina tahiona v smanjuje i priblizava c (odozgo), nazivnik (v²/c² - 1) priblizava se nuli, a energija tahiona priblizava se beskonacnosti. Obrnuto, kako se v priblizava beskonacnosti, energija E priblizava se nuli.
2. Invarijantna jednadba mase
Relativisticka invarijantna jednadba glasi:
Za tahion s imaginarnom masom m₀ = iμ, kvadrat mase postaje -μ². Jednadba postaje:
To znaci da je cetvero-vektor energije-impulsa tahiona prostornog tipa (spacelike), za razliku od obicne materije koja je vremenskog tipa (timelike).
3. Feinbergov princip reinterpretacije
Najtezia fizicka komplikacija tahiona je kauzalnost. Razliciti promatraci u razlicitim inercijskim referentnim sustavima neslagat ce se o vremenskom redoslijedu dogadaja.
Gerald Feinberg uveo je princip reinterpretacije: tahion negativne energije koji putuje unatrag u vremenu fizicki je nerazluciv od anti-tahiona pozitivne energije koji putuje unaprijed u vremenu. To obnavlja lokalnu termodinamicku stabilnost, iako ne rjesava u potpunosti paradokse kauzalnosti poput tahionskog antitelefona.
Zakljucak
Fizika tahiona zahtijeva od nas da obrnemo uobicajenu intuiciju o energiji i brzini. Iako fizicki tahioni ostaju nepotvrdjeni, ovaj matematicki okvir - posebno prostorni impuls i imaginarna masa - cini osnovu razumijevanja nestabilnosti polja u modernoj teoriji struna i Higgsovu mehanizmu.