Η έννοια του ταχυονίου δεν καταστρέφει τα μαθηματικά της ειδικής σχετικότητας. Αντιπροσωπεύει ένα ανεξερεύνητο μαθηματικό πεδίο εντός των μετασχηματισμών Lorentz. Πρέπει να εξετάσουμε προσεκτικά τις εξισώσεις που διέπουν την ενέργεια, την ορμή και τον χωρόχρονο όταν η ταχύτητα v υπερβαίνει αυστηρά την ταχύτητα του φωτός c.
1. Αντιστροφή ενέργειας-ορμής
Οι εξισώσεις Lorentz: E = m₀c² / √(1 - v²/c²) και p = m₀v / √(1 - v²/c²). Για συνηθισμένη ύλη v < c, άρα η έκφραση κάτω από την τετραγωνική ρίζα είναι θετική. Καθώς v πλησιάζει c, η ενέργεια τείνει στο άπειρο.
Για ταχυόνιο v > c, κάνοντας (1 - v²/c²) αρνητικό. Η μάζα ηρεμίας πρέπει να είναι φανταστική: m₀ = iμ. Η εξίσωση ενέργειας γίνεται:
Όριο ταχύτητας από κάτω
Καθώς η ταχύτητα του ταχυονίου μειώνεται και πλησιάζει c, η ενέργεια τείνει στο άπειρο. Καθώς η ταχύτητα τείνει στο άπειρο, η ενέργεια πλησιάζει το μηδέν. Ταχυόνιο με μηδενική ενέργεια ταξιδεύει με άπειρη ταχύτητα. Δεν μπορεί να επιβραδύνει στο c, όπως ένα κανονικό σωματίδιο δεν μπορεί να επιταχύνει στο c.
2. Εξίσωση αναλλοίωτης μάζας
Σχετικιστική αναλλοίωτη εξίσωση: E² - (pc)² = (m₀c²)². Για ταχυόνιο με φανταστική μάζα (m₀)² = -μ², η εξίσωση γίνεται E² - (pc)² = -μ²c⁴. Αυτό δείχνει ότι το τετραδιάνυσμα ενέργειας-ορμής του ταχυονίου είναι χωρικού τύπου (spacelike).
3. Αρχή επανερμηνείας Feinberg
Η σοβαρότερη επιπλοκή των ταχυονίων αφορά την αιτιότητα. Διαφορετικοί παρατηρητές μπορεί να διαφωνούν στη χρονική σειρά των γεγονότων. Ο Feinberg εισήγαγε την αρχή επανερμηνείας: ένα ταχυόνιο αρνητικής ενέργειας που ταξιδεύει πίσω στο χρόνο είναι φυσικά αδιάκριτο από ένα αντι-ταχυόνιο θετικής ενέργειας που ταξιδεύει μπροστά στο χρόνο.
Συμπέρασμα
Η φυσική των ταχυονίων απαιτεί να αντιστρέψουμε τη συνηθισμένη διαίσθηση για ενέργεια και ταχύτητα. Αν και μαθηματικά κομψή, περιγράφει ένα σύμπαν όπου η αιτιότητα εξαρτάται βαθιά από τον παρατηρητή. Αυτό το μαθηματικό πλαίσιο αποτελεί τη βάση για την κατανόηση αστάθειων πεδίου στη θεωρία χορδών και τον μηχανισμό Higgs.