Takioi-kontzeptuak ez du erlatibitate bereziaren matematika hausten. Lorentz transformazioen barruko esploratu gabeko domeinu matematiko bat ordezkatzen du. Takioiak ulertzeko, energia, momentua eta espazio-denbora arautzen dituzten ekuazioak aztertu behar ditugu abiadura (v) argiaren abiadura (c) baino handiagoa denean.
1. Energia-momentu inbertsioa
Erlatibitate berezian, geldi-masa (m₀) eta abiadura (v) duen partikula baten energia osoa (E) eta momentua (p) Lorentz ekuazioek ematen dituzte:
E = m₀c² / √(1 - v²/c²)
p = m₀v / √(1 - v²/c²)
Materia arrunterako (bradioiak), v < c, beraz erro karratuaren barneko terminoa positiboa da. v c-ra hurbiltzen den heinean, izendatzailea zerora hurbiltzen da, energia infinituraino eramanez.
Takioi baterako, v > c. Horrek (1 - v²/c²) terminoa negatiboa bihurtzen du. E eta p errealak izateko, geldi-masak irudikaria izan behar du:
Non i = √(-1) eta μ zenbaki erreal bat den. Energia-ekuazioa honela bihurtzen da:
Abiadura-muga behetik
Takioi baten abiadura v c-ra hurbiltzen bada (goitik), izendatzailea zerora hurbiltzen da, eta takioiaren energia infinituraino hurbiltzen da. Aitzitik, v infinituraino hurbiltzen den heinean, energia E zerora hurbiltzen da. Zero energiako takioia abiadura infinituan bidaiatzen dabil.
2. Masa inbariante ekuazioa
Energiaren, momentuaren eta geldi-masaren arteko erlazioa ekuazio inbariante erlatibistaren bidez ere adieraz daiteke:
Masa irudikaria duen takioi batentzat m₀ = iμ, masaren karratua (m₀)² = -μ². Beraz, takioi baten momentu karratua (pc)² beti haren energia karratua E² baino handiagoa da. Minkowski espazio-denboraren lau dimentsioan, takioi baten energia-momentu lau-bektorea espazio-motakoa da.
3. Feinberg-en berrinterpretazio printzipioa
Takioien konplikazio fisiko larriena kausalitatea da. Takioiaren lau-momentua espazio-motakoa denez, erreferentzia-sistema desberdinetan dauden behatzaile desberdinak gertaeren denbora-ordenan ez datoz bat.
Hori konpontzeko, Gerald Feinberg-ek Berrinterpretazio Printzipioa aurkeztu zuen. Printzipioak dio energia negatiboko takioi bat denboran atzera bidaiatzen ari dena fisikoki bereizezina dela denboran aurrera bidaiatzen duen energia positiboko anti-takioi batetik.
Ondorioa
Takioien fisikak energiari eta abiadurari buruzko gure ohiko intuizioa alderantzikatzera behartzen gaitu. Takioi fisikoak egiaztatu gabe dauden arren, esparru matematiko hau berak - momentu espazio-motakoa eta masa irudikaria - eremu-ezegonkortasunak (takioi-kondentsazioa) ulertzeko oinarria osatzen du harien teoria modernoan eta Higgs mekanismoan.