Концепция тахиона не нарушает математику специальной теории относительности. Скорее, она представляет неисследованную математическую область в преобразованиях Лоренца. Чтобы понять тахионы, необходимо внимательно рассмотреть уравнения, управляющие энергией, импульсом и пространством-временем, когда скорость (v) строго превышает скорость света (c).
1. Инверсия энергии-импульса
В специальной теории относительности полная энергия (E) и импульс (p) частицы с массой покоя (m₀) и скоростью (v) задаются уравнениями Лоренца:
E = m₀c² / √(1 - v²/c²)
p = m₀v / √(1 - v²/c²)
Для обычной материи (брадионов) v < c, поэтому выражение под корнем (1 - v²/c²) положительно. Знаменатель действительный, масса покоя действительная, а значит, энергия и импульс являются действительными наблюдаемыми величинами. По мере приближения v к c знаменатель стремится к нулю, увеличивая энергию до бесконечности. Именно поэтому обычная материя не может достичь скорости света -- для этого потребовалась бы бесконечная энергия.
Для тахиона v > c. Это делает выражение (1 - v²/c²) отрицательным. Извлечение корня из отрицательного числа даёт мнимый знаменатель. Чтобы энергия E и импульс p оставались действительными, наблюдаемыми величинами, числитель также должен быть мнимым. Это приводит к требованию, что масса покоя тахиона m₀ должна быть мнимой:
Где i = √(-1), а μ -- действительное число, представляющее величину массы тахиона. Тогда уравнение энергии принимает вид:
Предел скорости снизу
Внимательно рассмотрите модифицированное уравнение энергии выше. Если скорость тахиона v уменьшается и приближается к c (сверху), знаменатель (v²/c² - 1) стремится к нулю, а энергия тахиона стремится к бесконечности. И наоборот, когда v стремится к бесконечности, знаменатель неограниченно растёт, а энергия E стремится к нулю. Тахион с нулевой энергией движется с бесконечной скоростью. Он не может замедлиться до c точно так же, как обычная частица не может ускориться до c.
2. Уравнение инвариантной массы
Соотношение между энергией, импульсом и массой покоя можно также выразить через релятивистское инвариантное уравнение:
Для тахиона с мнимой массой m₀ = iμ квадрат массы (m₀)² = (iμ)² = -μ². Уравнение принимает вид:
Это указывает на то, что для тахиона квадрат импульса (pc)² всегда строго больше квадрата энергии E². В четырёхмерном пространстве-времени Минковского четырёхвектор энергии-импульса тахиона является пространственноподобным, тогда как для обычной материи он времениподобный, а для света -- светоподобный (или нулевой).
3. Принцип переинтерпретации Фейнберга
Наиболее серьёзное физическое осложнение тахионов -- причинность. Поскольку четырёхимпульс тахиона пространственноподобный, различные наблюдатели в различных инерциальных системах отсчёта будут расходиться во мнении о временном порядке событий.
Если наблюдатель A видит тахион, испущенный при событии E_1 с положительной энергией и поглощённый при событии E_2 позже во времени (t_2 > t_1), существует другая допустимая система отсчёта, наблюдатель B, движущийся с относительной скоростью v < c, который увидит события в обратном порядке (t_1' > t_2'). Более того, в системе отсчёта наблюдателя B энергия тахиона математически окажется отрицательной.
Для разрешения этого Джеральд Фейнберг ввёл принцип переинтерпретации (также независимо сформулированный Сударшаном). Принцип гласит, что тахион с отрицательной энергией, движущийся назад во времени, физически неотличим от антитахиона с положительной энергией, движущегося вперёд во времени.
Если наблюдатель B видит частицу, движущуюся от E_2 к E_1 назад во времени с отрицательной энергией, он должен переинтерпретировать это как античастицу, движущуюся от E_1 к E_2 вперёд во времени с положительной энергией. Акт «испускания» и «поглощения» просто меняется местами в зависимости от системы отсчёта наблюдателя. Это восстанавливает локальную термодинамическую стабильность, хотя и не полностью решает макромасштабные парадоксы причинности, такие как тахионный антителефон.
4. Квантовый спин и спиральность
Если тахионы существуют как квантовые частицы, они должны обладать квантовыми числами, такими как спин. Однако классификация Вигнера представлений группы Пуанкаре показывает, что тахионные состояния крайне аномальны. Для пространственноподобного вектора импульса «малая группа» (подгруппа преобразований Лоренца, оставляющая вектор импульса неизменным) является SO(2,1), которая некомпактна.
Это означает, что квантовый тахион имел бы бесконечное число поляризационных состояний (непрерывный спин), если только состояние не ограничено нулевой спиральностью (скалярный тахион). Поскольку мы не наблюдаем элементарные частицы с бесконечным непрерывным спином, физики-теоретики обычно моделируют тахионы как скалярные поля со спином 0.
Заключение
Физика тахионов требует от нас инвертировать привычную интуицию об энергии и скорости. При всей математической элегантности мнимой массы и принципа переинтерпретации они описывают вселенную, где причинность глубоко зависит от наблюдателя. Хотя физические тахионы остаются неподтверждёнными, именно этот математический аппарат -- в частности, пространственноподобный импульс и мнимая масса -- лежит в основе понимания нестабильностей полей (конденсации тахионов) в современной теории струн и механизме Хиггса.